Was ist ein mathematischer Beweis?
In der Naturwissenschaft und in unserem alltäglichen
Leben ist ein Beweis wesentlich weniger anspruchsvoll als in der Mathematik.
Wir gehen im Allgemeinen davon aus, dass eine Sache bewiesen ist, wenn das
Gegenteil nach unseren Vorstellungen nicht existieren kann, weil die Indizien
überzeugend sind oder weil niemand bisher eine andere Erfahrung gemacht
hat. Ein Fingerabdruck am Tatort gilt vor Gericht als Beweis, da man davon
ausgeht, dass es keine zwei Menschen auf der Welt gibt, die den gleichen Fingerabdruck
haben. Allerdings hat das noch niemand mit Sicherheit beweisen können.
Mathematische Beweise hingegen sind unumstößlich. Wer einen mathematischen
Beweis gefunden hat, kann sicher sein, dass dieser auch In hunderten von Jahren
noch gültig ist.
Beispiele:
1. Beweise, dass das Produkt zweier gerader Zahlen wieder gerade ist.
Eine gerade Zahl x ist immer durch 2 teilbar ohne Rest. D.h. es gibt eine
ganze Zahl, die die Hälfte dieser Zahl x ist.
gerade Zahl: x = 2n, eine andere gerade Zahl sei: y = 2m.
Das Produkt der beiden Zahlen ist: xy = 2n x 2m oder = 2(n + m).
Dieses muss aber eine gerade Zahl sein, da der Faktor 2 ausgeklammert werden
kann.
2. Beweise, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist.
Eine ungerade Zahl x kann dargestellt werden durch: x = 2n - 1.
Ein andere ungerade Zahl y ist dann: y = 2m - 1.
Das Produkt ergibt sich aus: xy = (2n - 1)(2m - 1) = 4mn - 2n - 2m + 1
oder xy = 2(mn - n - m)- 1.
Dieses kann keine gerade Zahl sein, da von dem geraden Teil 2(mn - n - m)
noch 1 abgezogen wird und sich dadurch eine ungerade Zahl ergibt.
3. Beweise, dass das die Summe der ersten n ungeraden Zahlen = n² ist.
Ungerade Zahl: 2i-1, dann soll gelten: Die Summe alller Zahlen 2i-1 von i
= 1 bis n ergibt n².
Beweis durch vollständige Induktion: für n = 1 gilt die obige Formel,
dann muss die Formel auch für n+1 Zahlen gelten usw.
Es gilt dann: + 2(n+1)-1 = n² + 2n +1 oder = (n+1)². Dies ist, wie
zu beweisen war, die Quadratzahl für n+1 Zahlen.
4. Zerlege die Zahle 2004 in drei Summanden. Beweise, dass das Produkt
dieser Zahlen stets eine gerade Zahl ist.
(Gilt das auch für andere Zahlen?)
Von den drei Summanden einer geraden Zahl müssen entweder einer gerade
und zwei ungerade sein oder alle drei sind gerade.
a) S1 = 2n-1, S2 = 2m - 1, S3 = 2k. Dann gilt:
(2n-1)(2m-1)2k = (4nm - 2n - 2m +1)2k = 4nmk - 4nk -4mk + 2k oder
2(nmk - 2nk -2mk+ k) , damit eine gerade Zahl, da durch 2 teilbar.
b) wenn alle drei Zahlen gerade sind: 2k x 2m x 2n = gerade, da durch 2
teilbar
5. Die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen ist immer durch Drei teilbar.
Einfacher Beweis: Zahl 1 sei i, dann heißen die drei Zahlen i, i+1
und i+2.
Die Summe ist. i + i+1 + i+2 = 3i + 3 oder 3(i+1). Dies muss durch Drei teilbar
sein.
6. Beweis für den Satz des Pythagoras
Unten sind vier identische rechtwinklige Dreiecke abgebildet, die zusammen
mit dem gekippten Quadrat ein größeres Quadrat ergeben. Wenn der
Satz des Pythagoras gilt, dann kann man die Fläche des großen Quadrates
auf zwei Arten berechnen:
1.Als Summe der Flächen der vier rechtwinkligen Dreiecke und des gekippten
Quadrates.
2.Als Quadrat der Kantenlänge des Quadrates, wobei die Kantenlänge
gleich a + b ist.
Zu 1: Die Fläche eines Dreieck berechnet sich aus F = (g x h)/2.
Damit gilt für die vier Dreiecke: F = 4 x (a x b)/2 oder 2 a b.
Das gekippte Quadrat hat die Kantenlänge c. Die Fläche ist also
c²
C² ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras aus c² = a² + b².
Daraus ergibt sich als Gesamtfläche: F = a² + b² + 2ab.
Zu 2: Die Kantenlänge des großen Quadrates ist a + b. Daraus ergibt
sich
als Fläche F = (a + b)².
Wenn der Satz des Pythagoras gilt, müssen beide Flächen gleich sein.
Also: a² + b² + 2ab = (a+b)²
Nach der 1. Binomischen Formel gilt:
a² + b² + 2ab = a² + 2ab + b² ,offensichtlich steht auf
beiden Seiten dasselbe, was zu beweisen war.
Alternativ kann man auch schreiben:
c² + 2ab = a² + 2ab + b², so dass sich nach Subtraktion von
2ab wieder der Satz des Pythagoras ergibt.
7. Beweis des Euklid, dass die Wurzel aus 2 keine rationale Zahl sein kann.
(Wurzel aus 2 ist ungleich m/n)
Voraussetzungen:
a) Eine beliebige Zahl, die mit 2 multipliziert wird, ist eine gerade Zahl.
b) Das Quadrat einer geraden Zahl ist wieder gerade und umgekehrt.
c) Kein Bruch kann beliebig oft gekürzt werden.
Wir nehmen an, dass gilt: .Wurzel aus 2 = p/q. Durch Quadrieren ergibt
sich 2 = p²/q².
Durch Umformen ergibt sich: 2q² = p². Damit ist klar, dass p²
gerade sein muss und wegen b) ist auch p gerade. Wenn p gerade ist, dann gilt
p = 2m, wobei m eine beliebige andere Zahl ist. Setzen wir 2m in die Gleichung
ein, erhalten wir
2q² = (2m)² oder 2q² = 4m².
Damit ist auch klar, dass q² gerade sein muss und damit auch q. q kann dann analog zu oben als 2n geschrieben werden. Dann erhalten wir Wurzel aus 2 = p/q = (2m)/(2n).
Dieser Bruch kann nun durch 2 gekürzt werden und es ergibt sich . Wurzel
aus 2 = m/n.
Mit diesem Ausdruck können wir das gleich Verfahren durchlaufen wie oben.
Wir stellen fest, dass wir diese Umformung beliebig oft wiederholten könnten,
was aber ein Widerspruch zu c) ist. Damit ist bewiesen, dass man die Wurzel
aus 2 nicht als Bruch schreiben kann.
8. Eine noch unbewiesene Aussage
Bis heute ist die sogenannte Goldbachsche Vermutung noch unbewiesen:
Sie besagt:
Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, kann als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden.
Auf den Beweis ist ein Preis von 1 Million Euro ausgesetzt worden.