Neulich las ich folgende ziemlich erstaunliche Geschichte, die sich Daniel Bernoulli (18 Jhd.) ausgedacht hat und die als das St. Petersburg - Paradoxon die Mathematikinteressierten fasziniert.
Doch vorab eine kleine Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Nehmen wir an, bei einem
Würfelspiel gewinnt derjenige 6 Euro, der im ersten Wurf eine 6 würfelt.
Da der Würfel alle Zahlen von 1 bis 6 anzeigen kann und die Wahrscheinlichkeit
für jede Zahl gleich ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler
beim 1. Wurf die 6 würfelt gleich 1/6. Wenn es nun darum geht, welchen
Einsatz ein Spieler dieses Spiels maximal zahlen sollte, so wäre die
Antwort 1 Euro. Auf lange Sicht würden sich dann Einsatz und Gewinn ausgleichen.
Beim Wurf einer Münze ist die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu bekommen
jeweils 1/2 also 50 %. Beträgt der Gewinn bei Zahl 5 Euro, so sollte
der Spieler maximal 2,5 Euro Einsatz zahlen, wenn er auf lange Sicht
nicht verlieren will. (Bei 1000 Würfen hat er dann 2500 Euro Einsatz
gezahlt und 'wahrscheinlich' 2500 Euro gewonnen).
Als Erwartungswert des Gewinnes bezeichnet man das Produkt aus Gewinnhöhe
und Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Gewinns (0,5 x 5 Euro = 2,50 Euro)
Bernoulli stellte nun folgende Frage:
Wie hoch kann der Einsatz eines Spielers bei einem Münzwurf sein, wenn folgende Gewinnregel zugrunde gelegt wird:
Das Spiel endet, wenn
die Münze Zahl zeigt. Fällt beim ersten Mal Zahl, so gewinnt der
Spieler 2 Euro, fällt erst beim 2. Mal Zahl, so verdoppelt sich
der Gewinn auf 4 Euro.
Fällt Zahl erst beim 3. Mal, so verdoppelt sich der Gewinn abermals auf
8 Euro. Das heißt allgemein: Bei n-Würfen beträgt der Gewinn
2^n Euro.
In diesem Fall addieren sich also die einzelnen Erwartungswerte. Welchen Einsatz wären Sie bereit zu zahlen? Viel Spaß.