Zahlenfolgen

„Intelligenz ist das, was ein Intelligenztest misst“.

Jeder von uns kennt diese Tests, die angeblich die unsere Intelligenz messen wollen. Wir wissen heute, dass die Intelligenz eines Menschen aus vielen verschiedenen Komponenten besteht, die erst zusammen genommen eine einigermaßen verlässliche Aussage über die Intelligenz ergeben. Intelligenztests messen aber immer nur einige, wenige dieser Komponenten.

Weit verbreitet sind Testaufgaben, die das Zahlenverständnis messen. Diese sind auch in Bewerbungstests sehr beliebt. Dabei geht es oft um die Fortsetzung einer Zahlenfolge.

Beispiel: Bestimme das nächste Glied der Folge 3, 5, 7, ...

Nicht schwer, werden viele denken: das nächste Glied ist 9, da es sich hier um die Folge von ungeraden Zahlen handelt.

Allerdings ist dies nicht die einzige Möglichkeit, denn es könnte sich auch um eine Folge von Primzahlen handeln, wobei die nächste dann 11 wäre (und nicht 9, da 9 keine Primzahl ist).

Wenn man weiter überlegt, ließen sich auch noch andere mögliche Folgegleider finden, da eine Folge von nur 3 Zahlen noch nicht eindeutig genug bestimmbar ist.

In diesem Artikel sollen ein paar Tricks gezeigt werden, wie man solchen Zahlenfolgen auf die Spur kommen kann und dadurch beim nächsten Test vielleicht ein wenig ‚intelligenter’ wird.

Zuvor aber wollen wir einige bekannte Zahlenfolgen aus der Mathematik vorstellen und beschreiben.

1. Folge der natürlichen Zahlen:

1, 2, 3, 4, ....  nächste Zahl: 5

2. Folge der geraden Zahlen:
2, 4, 6, 8, .... nächste Zahl: 10

3. Folge der ungeraden Zahlen:
1, 3, 5, 7, ....  nächste Zahl: 9

4. Folge der Quadratzahlen:
1, 4, 9, 16, ... nächste Zahl: 25

5. Folge der Primzahlen:
1, 2, 3, 5, 7, ... nächste Zahl: 11

6. Abstandszahlen:
1, 2, 4, 7, 11, 16, nächste Zahl: 22
hier nehmen die Abstände zwischen den Zahlen jeweils um 1 zu

7. Fibonaccizahlen:
1, 1, 2, 3, 5, 8, ... nächste Zahl: 13
Bei der berühmten Fibonaccifolge ergeben sich die folgenden Zahlen jeweils aus der
Summe der beiden vorhigen Zahlen. Das interessante ist, das sich der Quotient
zweier aufeinanderfolgenden Zahlen immer mehr dem Wert 1,61.. nähert, welches
die Maßzahl für den ‚goldenen Schnitt’ ist, der in Kunst und Architektur als Messwert
für eine dem Schönheitsideal entsprechende Aufteilung ist.

8. Dreieckszahlen:
1, 3, 6, 10, 15, ... nächste Zahl: 21
Die n-te Zahl ergibt sich jeweils aus der Summe der Zahlen von 1 bis n.
D.h. die 5. Zahl ist 1+2+3+4 +5 = 15.
(Diese entsprechen auch dem Binomialkoeffizienten n über 2)

9. Tetraederzahlen:
1, 4, 10, 20, ... nächste Zahl: 35
Die n-te Zahl ergibt sich aus der Summe der ersten n Dreieckszahlen

(Diese entsprechen auch dem Binomialkoeffizienten n über 3)

10. Fakultäten:

1, 2, 6, 24, 120, ... nächste Zahl: 720

Die n-te Zahl ergibt sich aus der Multiplikation der ersten n Zahlen

Z.B. die 5. Zahl ist 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.

Ein Algorithmus zur Bestimmung der nächsten Zahl einer Zahlenfolge geht davon aus, dass sich die Zahlen der Folge aus den
mathematischen Grundrechenarten (+, -, *, : ) ergeben. Außerdem müssen mindestens 3 Glieder der Folge bekannt sein.

1. Schritt: Bilde die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder und schreibe diese unter die beiden Zahlen

               Wiederhole diesen Schritt so lange, bis alle Differenzen gleich sind.

2. Schritt: Wenn alle Differenzen gleich sind, addiere die jeweils für die letzten Zahlen ermittelten Differenzen zur letzten Zahl der
               Folge und erhalte somit die nächste Zahl. (D.h. wir kehren die in Schritt eins durchgeführten Schritte um)

Beispiel: Wie heißt das nächste Glied der Folge: 6, 8, 12, 18, 26, 36

            Bilde die Differenzen:                         2   4   6   8    10        Wiederhole diesen Schritt

                                                                   2   2   2   2             Differenzen sind konstant

            Berechne das nächste Glied: 36 + 10 + 2 = 48

Wenn man auf oben beschriebene Art keine konstante Differenzenfolge erhält, kann man versuchen, durch Division zweier aufeinanderfolgender Glieder eine konstante Folge zu erhalten:

Beispiel: Wie heißt das nächste Glied der Folge: 2, 4, 12, 48, ...

            Wir dividieren                                    2   3   4           nun wenden wir die Subtraktion an:

                                                                    1   1             wir kehren die Schritte um:
            Das nächste Glied heißt: 1 + 4 = 5, 5 * 48 = 240

Bei manchen Zahlenfolgen wechseln sich die Grundrechenarten ab. Beispiel: 2, 5, 10, 13, 26, ...

Hier wird abwechselnd 3 addiert und dann mit 2 multipliziert. Hier kann man den oben beschriebenen Algorithmus auf jedes 2. Element anwenden.

Es gibt aber auch andere Zahlenfolgen, bei denen der Algorithmus nicht weiterhilft. Eine solche ist z.B. die oben gezeigte Primzahlenfolge (Nr. 5). Bei folgend dieser Art helfen allerdings nur gewisse mathematische Grundkenntnisse, um Zusammenhänge zu erkennen.

Dennoch können mit dem oben dargestellten Algorithmus die meisten Zahlenfolgen aus sog. Intelligenztest gelöst werden.